Newest Post
Kyaaa!! Apa cobaa....
Ayacchi diantar sama haru kerumaah... sukur aya gak bawa motor hari ini.
Tapi kyknya Yoru suka sama aya deh...
Kyaaa...tapi wow banget dah hari ini..
Ehe.. jadi curhatan deeh.. tapi gak apalah...
Gw amaze banget pas tw klo dy yang tawarin gw bwt plg... ToT
Love you Haru...
Apa yang akan kau pikirkan jika kau melihat orang yang kau sukai sedang bercanda bahkan terlihat seperti pacaran tepat di depan matamu?
Bahkan dia yang 2 minggu sebelumnya selalu duduk disampingku kini pergi.
Entah dia menyadarinya atau tidak, aku bahkan tak sanggup ubtuk melihat mereka berdua yang ada di depanku.
Aku juga tak tertarik dengan pembicaraan temanku yang lainnya. mereka melihatku seperti sangat serius memikirkan sesuatu, ya aku sedang bingung karena aku tak tau harus berbuat apalagi saat itu.
Yah, aku tau pasti apa yang sedang mereka bicarakan. Tapi aku tidak tau siapa objek yang mereka bicarakan.
Mungkin mulai saat ini aku harus berhenti menyukainya.
Tapi hari ini juga dimana pertama kali aku memberikan dia sesuatu sekalipun aku juga harus memberikan kepada temanku yang lain.
Mungkin itu adalah kenangan terakhir sebelum aku benar-benar melupakannya.
A.
Latar
Belakang
Pernakah
kalian mengenal istilah elips? Dalam kehidupan sehari-hari bentuk elips dapat
ditemukan pada irisan telur rebus, bayangan lingkaran oleh sinar matahari yang
condong, lapangan, dan lintasan planet yang mengelilingi matahari. Dengan
mempelajarai tentang elips kita dapat mengukur panjang lintasan planet-planet
tersebut maupun luas dari lapangan. Jadi dalam makalah ini saya akan membahas
tentang elips dan beberapa contoh penggunaanya dalam kehidupan sehari-hari.
B.
Rumusan
Masalah
1. Apakah
yang dimaksud dengan elips?
2. Apa
saja unsur-unsur dari elips?
3. Bagaimana
sifat dari elips?
4. Apa
yang dimaksud dengan garis direktris dan titik focus pada elips?
BAB
2
PEMBAHASAN
A.
Pengertian
Elips
Elips merupakan kurva lengkung
tertutup yang memiliki dua sumbu simetri. Elips merupakan salah satu irisan
kerucut karena bentuk elips dapat diperoleh dengan mengiris kerucut menurut
sebuah bidang yang tidak sejajar bidang alas dan tidak memotong bidang alas.
Dalam bidang koordinat, elips
didefinisikan sebagai kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua
titik tertentu selalu tetap. Dalam pembahasan selanjutnya, kedua titik tertentu
itu dinamakan titik focus.
B.
|
Unsur-Unsur
Elips
 |
|
|||||||||
 |
||||||||||
 |
||||||||||
 |
||||||||||
Keterangan:
Titik
O disebut pusat elips. Titik
F1 dan F2 disebut focus elips. Titik
A1, A2, B1,
dan B2 disebut
titikpuncak elips. Ruas
garis A1A2 disebut sumbu mayor (sumbu panjang)
dan memiliki panjang yang dinyatakan dengan 2a. Ruas
garis B1B2 disebut sumbu minor (sumbu pendek)
dan memiliki panjang yang dinyatakan dengan 2b. Sumbu
simetri yang melalui kedua focus disebut sumbu utama atau sumbu transversal. Sumbu
simetri yang melalui titik pusat dan tegak sumbu utama disebut sumbu sekawan
atau sumbu konjungsi. Ruas
garis F1F2 memiliki panjang yang dinyatakan
dengan 2c. Eksentrisitas
numeric (e), yaitu perbandingan
antara jarak titik focus ke pusat elips dengan setengah sumbu mayor atau e=
.
Gambar elips diatas merupakan
elips horizontal, yaitu elips dengan sumbu utamanya sejajar dengan sumbu X.
Selain elips horizontal, terdapat elips vertical, yaitu elips dengan sumbu
utamanya sejajar dengan sumbu Y.
C.
Sifat-Sifat
Elips
D.
Garis
Direktris dan Titik Fokus Pada Elips
Definisi dari Suatu Elips
Diberikan dua titik tertentu, f1 dan f2, pada suatu bidang, elips adalah himpunan semua titik (x, y) yang jaraknya terhadap titik f1 ditambah jaraknya terhadap titik f2 selalu konstan.
Dua titik f1 dan f2 disebut sebagai fokus dari suatu elips, dan titik-titik P (x, y) adalah titik-titik pada grafik elips.
Diberikan dua titik tertentu, f1 dan f2, pada suatu bidang, elips adalah himpunan semua titik (x, y) yang jaraknya terhadap titik f1 ditambah jaraknya terhadap titik f2 selalu konstan.
Dua titik f1 dan f2 disebut sebagai fokus dari suatu elips, dan titik-titik P (x, y) adalah titik-titik pada grafik elips.
Berikut ini ilustrasi
jumlah dari jarak titik-titik fokus dengan titik pada elips yang sama dengan
konstanta.
Untuk menentukan persamaan
elips dalam bentuk p dan q, kita dapat
mengkombinasikan definisi elips yang baru saja diberikan dengan rumus jarak.
Perhatikan elips di bawah ini (untuk memudahkan penghitungan, kita gunakan
elips yang berpusat di titik (0, 0).
Perhatikan bahwa
titik-titik puncaknya memiliki koordinat di (–p, 0) dan (p, 0) dan titik-titik ujung dari sumbu minornya di (0,
–q) dan (0, q). Misalkan koordinat titik-titik fokusnya ada di (–f, 0) dan (f, 0), maka kita
dapat menentukan jarak titik (f, 0) dan sembarang
titik P (x, y) pada elips dengan
menggunakan rumus jarak.
Dengan cara yang sama,
jarak titik (–f, 0) dengan sembarang titik (x, y) adalah
Berdasarkan definisi,
jumlah kedua jarak tersebut haruslah konstan:
E.
Persamaan
Sebelum membahas
mengenai persamaan elips, mari kita ingat-ingat kembali persamaan dari suatu
lingkaran. Lingkaran yang memiliki titik pusat di titik (a, b) dan
berjari-jari rmemiliki persamaan (x – a)2 + (y – b)2 = r2. Dengan membagi
kedua ruas persamaan tersebut dengan r2, kita akan memperoleh
Pada persamaan yang
terakhir, nilai r pada masing-masing penyebut
secara berturut-turut merupakan jarak vertikal dan horizontal dari titik pusat
ke grafik. Lalu mungkin kita akan bertanya, bagaimana jika nilai dari
penyebut-penyebut tersebut berbeda? Untuk menjawab pertanyaan tersebut,
perhatikan persamaan berikut.
Pusat dari grafik
persamaan di atas tetaplah (3, –2), karena a = 3 dan b = –2. Dengan mensubtitusi y = –2, kita dapat menentukan titik-titik yang
memenuhi persamaan tersebut.
Hasil di atas,
menunjukkan bahwa jarak horizontal titik pusat terhadap grafik adalah 4 satuan,
yaitu jarak titik pusat (3, –2) terhadap titik-titik (–1, –2) dan (7, –2).
Dengan cara yang serupa, untuk x = 3 kita akan
mendapatkan (y + 2)2 = 9,
sehingga diperoleh y = –5
dan y = 1. Hal ini menunjukkan bahwa jarak vertikal
titik pusat terhadap grafik adalah 3, yaitu jarak titik (3, –2) terhadap
titik-titik (3, –5) dan (3, 1). Sehingga, dengan mengganti penyebut-penyebut
yang tidak sama pada suatu persamaan lingkaran, kita akan mendapatkan suatu
grafik memanjang dari lingkaran. Grafik seperti ini merupakan grafik dari
suatu elips.
Untuk suatu elips,
jarak terjauh antara dua titik pada elips disebut sumbu mayor, dengan titik-titik ujung sumbu mayor
disebut titik-titik puncak elips. Ruas garis yang tegak lurus
dan membagi sumbu mayor menjadi 2 bagian yang sama disebut sumbu minor.
§ Jika p > q, sumbu mayornya horizontal (sejajar dengan sumbu-x) dengan panjang 2p, dan sumbu
minornya vertikal dengan panjang 2q.
§ Jika p < q, sumbu mayornya vertikal (sejajar dengan sumbu-y) dengan panjang 2q, dan sumbu
minornya horizontal dengan panjang 2p.
Dari pengamatan kita di atas, kita dapat
menarik kesimpulan mengenai persamaan elips sebagai berikut.
Bentuk Standar dari Persamaan
Elips
Diberikan persamaan,
Jika p ≠ q persamaan tersebut merepresentasikan grafik dari suatu elips dengan titik pusat (a, b). Nilai |p| merupakan jarak horizontal titik pusat dengan grafik, sedangkan |q| merupakan jarak vertikal titik pusat dengan grafik.
Diberikan persamaan,
Jika p ≠ q persamaan tersebut merepresentasikan grafik dari suatu elips dengan titik pusat (a, b). Nilai |p| merupakan jarak horizontal titik pusat dengan grafik, sedangkan |q| merupakan jarak vertikal titik pusat dengan grafik.
F.
Contoh
Soal
Contoh 1: Permasalahan Karakteristik
Elips
Di Washington D.C.,
terdapat taman Ellipse yang terletak di antara
Gedung Putih dan Monumen Washington. Taman tersebut dikelilingi oleh suatu
jalan yang berbentuk elips dengan panjang sumbu mayor dan minornya secara
berturut-turut adalah 458 meter dan 390 meter. Apabila pengelola taman tersebut
ingin membangun air mancur pada masing-masing fokus taman tersebut, tentukan
jarak antara air mancur tersebut.
Pembahasan Karena panjang dari sumbu mayornya 2p = 458 maka kita peroleh p = 458/2 = 229 dan p2 = 2292 = 52.441. Sedangkan panjang
sumbu minornya 2q =
390, sehingga q = 390/2
= 195 dan q2 = 1952 = 38.025. Untuk menentukan f, kita dapat
menggunakan persamaan fokus.
Jadi, jarak antara kedua
air mancur tersebut adalah 2(120) = 240 meter.
Contoh 2: Prosedur Medis
Litotripsi merupakan suatu
prosedur medis yang dilakukan untuk menghancurkan batu di saluran kemih dengan
menggunakan gelombang kejut ultrasonik sehingga pecahannya dapat dengan mudah
lolos dari tubuh. Suatu alat yang disebut lithotripter, berbentuk setengah
elips 3 dimensi mengaplikasikan sifat-sifat dari titik fokus elips, digunakan
untuk mengumpulkan gelombang ultrasonik pada satu titik fokus untuk dikirimkan
ke batu ginjal yang terletak di titik fokus lainnya. Perhatikan gambar berikut.
Jika lithotripter tersebut
memiliki panjang (sumbu semi mayor) 16 cm dan berjari-jari (sumbu semi minor)
10 cm, seberapa jauh dari titik puncak seharusnya batu ginjal tersebut
diposisikan agar diperoleh hasil yang maksimal?
Pembahasan Dari soal, kita dapatkan panjang sumbu semi mayornya adalah q = 16, sehingga q2 = 162 = 256 dan panjang sumbu
semi minornya adalah p = 10,
sehingga p2 = 102 = 100. Dengan menggunakan
persamaan fokus,
Sehingga, jarak titik
puncak dengan titik fokus di mana batu ginjal diposisikan dapat ditentukan
sebagai berikut.
Jadi, agar diperoleh hasil
yang maksimal, batu ginjal tersebut seharusnya terletak pada jarak 28,49 dari
titik puncak lithotripter.
