ELIPS

Newest Post

ELIPS

// Posted by :Unknown // On :Jumat, 12 September 2014

A. Latar Belakang

Pernakah kalian mengenal istilah elips? Dalam kehidupan sehari-hari bentuk elips dapat ditemukan pada irisan telur rebus, bayangan lingkaran oleh sinar matahari yang condong, lapangan, dan lintasan planet yang mengelilingi matahari. Dengan mempelajarai tentang elips kita dapat mengukur panjang lintasan planet-planet tersebut maupun luas dari lapangan. Jadi dalam makalah ini saya akan membahas tentang elips dan beberapa contoh penggunaanya dalam kehidupan sehari-hari.

B. Rumusan Masalah

1. Apakah yang dimaksud dengan elips?

2. Apa saja unsur-unsur dari elips?

3. Bagaimana sifat dari elips?

4. Apa yang dimaksud dengan garis direktris dan titik focus pada elips?

BAB 2

PEMBAHASAN

A. Pengertian Elips

Elips merupakan kurva lengkung tertutup yang memiliki dua sumbu simetri. Elips merupakan salah satu irisan kerucut karena bentuk elips dapat diperoleh dengan mengiris kerucut menurut sebuah bidang yang tidak sejajar bidang alas dan tidak memotong bidang alas.

Dalam bidang koordinat, elips didefinisikan sebagai kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu selalu tetap. Dalam pembahasan selanjutnya, kedua titik tertentu itu dinamakan titik focus.

x=k

Unsur-Unsur Elips

x=k

Keterangan:

Titik O disebut pusat elips.

Titik F1 dan F2 disebut focus elips.

Titik A1, A2, B1, dan B2 disebut titikpuncak elips.

Ruas garis A1A2 disebut sumbu mayor (sumbu panjang) dan memiliki panjang yang dinyatakan dengan 2a.

Ruas garis B1B2 disebut sumbu minor (sumbu pendek) dan memiliki panjang yang dinyatakan dengan 2b.

Sumbu simetri yang melalui kedua focus disebut sumbu utama atau sumbu transversal.

Sumbu simetri yang melalui titik pusat dan tegak sumbu utama disebut sumbu sekawan atau sumbu konjungsi.

Ruas garis F1F2 memiliki panjang yang dinyatakan dengan 2c.

Eksentrisitas numeric (e), yaitu perbandingan antara jarak titik focus ke pusat elips dengan setengah sumbu mayor atau e=

Gambar elips diatas merupakan elips horizontal, yaitu elips dengan sumbu utamanya sejajar dengan sumbu X. Selain elips horizontal, terdapat elips vertical, yaitu elips dengan sumbu utamanya sejajar dengan sumbu Y.

C. Sifat-Sifat Elips

D. Garis Direktris dan Titik Fokus Pada Elips

Definisi dari Suatu Elips
Diberikan dua titik tertentu, f₁ dan f₂, pada suatu bidang, elips adalah himpunan semua titik (x, y) yang jaraknya terhadap titik f₁ ditambah jaraknya terhadap titik f₂ selalu konstan.

Dua titik f₁ dan f₂ disebut sebagai fokus dari suatu elips, dan titik-titik P (x, y) adalah titik-titik pada grafik elips.

Berikut ini ilustrasi jumlah dari jarak titik-titik fokus dengan titik pada elips yang sama dengan konstanta.

Untuk menentukan persamaan elips dalam bentuk p dan q, kita dapat mengkombinasikan definisi elips yang baru saja diberikan dengan rumus jarak. Perhatikan elips di bawah ini (untuk memudahkan penghitungan, kita gunakan elips yang berpusat di titik (0, 0).

Perhatikan bahwa titik-titik puncaknya memiliki koordinat di (–p, 0) dan (p, 0) dan titik-titik ujung dari sumbu minornya di (0, –q) dan (0, q). Misalkan koordinat titik-titik fokusnya ada di (–f, 0) dan (f, 0), maka kita dapat menentukan jarak titik (f, 0) dan sembarang titik P (x, y) pada elips dengan menggunakan rumus jarak.

Dengan cara yang sama, jarak titik (–f, 0) dengan sembarang titik (x, y) adalah

Berdasarkan definisi, jumlah kedua jarak tersebut haruslah konstan:

E. Persamaan

Sebelum membahas mengenai persamaan elips, mari kita ingat-ingat kembali persamaan dari suatu lingkaran. Lingkaran yang memiliki titik pusat di titik (a, b) dan berjari-jari rmemiliki persamaan (x – a)² + (y – b)² = r². Dengan membagi kedua ruas persamaan tersebut dengan r², kita akan memperoleh

Pada persamaan yang terakhir, nilai r pada masing-masing penyebut secara berturut-turut merupakan jarak vertikal dan horizontal dari titik pusat ke grafik. Lalu mungkin kita akan bertanya, bagaimana jika nilai dari penyebut-penyebut tersebut berbeda? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, perhatikan persamaan berikut.

Pusat dari grafik persamaan di atas tetaplah (3, –2), karena a = 3 dan b = –2. Dengan mensubtitusi y = –2, kita dapat menentukan titik-titik yang memenuhi persamaan tersebut.

Hasil di atas, menunjukkan bahwa jarak horizontal titik pusat terhadap grafik adalah 4 satuan, yaitu jarak titik pusat (3, –2) terhadap titik-titik (–1, –2) dan (7, –2). Dengan cara yang serupa, untuk x = 3 kita akan mendapatkan (y + 2)² = 9, sehingga diperoleh y = –5 dan y = 1. Hal ini menunjukkan bahwa jarak vertikal titik pusat terhadap grafik adalah 3, yaitu jarak titik (3, –2) terhadap titik-titik (3, –5) dan (3, 1). Sehingga, dengan mengganti penyebut-penyebut yang tidak sama pada suatu persamaan lingkaran, kita akan mendapatkan suatu grafik memanjang dari lingkaran. Grafik seperti ini merupakan grafik dari suatu elips.

Untuk suatu elips, jarak terjauh antara dua titik pada elips disebut sumbu mayor, dengan titik-titik ujung sumbu mayor disebut titik-titik puncak elips. Ruas garis yang tegak lurus dan membagi sumbu mayor menjadi 2 bagian yang sama disebut sumbu minor.

§ Jika p > q, sumbu mayornya horizontal (sejajar dengan sumbu-x) dengan panjang 2p, dan sumbu minornya vertikal dengan panjang 2q.

§ Jika p < q, sumbu mayornya vertikal (sejajar dengan sumbu-y) dengan panjang 2q, dan sumbu minornya horizontal dengan panjang 2p.

Dari pengamatan kita di atas, kita dapat menarik kesimpulan mengenai persamaan elips sebagai berikut.

Bentuk Standar dari Persamaan Elips
Diberikan persamaan,

Jika p ≠ q persamaan tersebut merepresentasikan grafik dari suatu elips dengan titik pusat (a, b). Nilai |p| merupakan jarak horizontal titik pusat dengan grafik, sedangkan |q| merupakan jarak vertikal titik pusat dengan grafik.

F. Contoh Soal

Contoh 1: Permasalahan Karakteristik Elips

Di Washington D.C., terdapat taman Ellipse yang terletak di antara Gedung Putih dan Monumen Washington. Taman tersebut dikelilingi oleh suatu jalan yang berbentuk elips dengan panjang sumbu mayor dan minornya secara berturut-turut adalah 458 meter dan 390 meter. Apabila pengelola taman tersebut ingin membangun air mancur pada masing-masing fokus taman tersebut, tentukan jarak antara air mancur tersebut.

Pembahasan Karena panjang dari sumbu mayornya 2p = 458 maka kita peroleh p = 458/2 = 229 dan p² = 229² = 52.441. Sedangkan panjang sumbu minornya 2q = 390, sehingga q = 390/2 = 195 dan q² = 195² = 38.025. Untuk menentukan f, kita dapat menggunakan persamaan fokus.

Jadi, jarak antara kedua air mancur tersebut adalah 2(120) = 240 meter.

Contoh 2: Prosedur Medis

Litotripsi merupakan suatu prosedur medis yang dilakukan untuk menghancurkan batu di saluran kemih dengan menggunakan gelombang kejut ultrasonik sehingga pecahannya dapat dengan mudah lolos dari tubuh. Suatu alat yang disebut lithotripter, berbentuk setengah elips 3 dimensi mengaplikasikan sifat-sifat dari titik fokus elips, digunakan untuk mengumpulkan gelombang ultrasonik pada satu titik fokus untuk dikirimkan ke batu ginjal yang terletak di titik fokus lainnya. Perhatikan gambar berikut.

Jika lithotripter tersebut memiliki panjang (sumbu semi mayor) 16 cm dan berjari-jari (sumbu semi minor) 10 cm, seberapa jauh dari titik puncak seharusnya batu ginjal tersebut diposisikan agar diperoleh hasil yang maksimal?

Pembahasan Dari soal, kita dapatkan panjang sumbu semi mayornya adalah q = 16, sehingga q² = 16² = 256 dan panjang sumbu semi minornya adalah p = 10, sehingga p² = 10² = 100. Dengan menggunakan persamaan fokus,